그럼에도 불구하고

확률적 경사 미분법(SGD)의 문제점에서 "SGD는 비등방성 함수의 경우 비효율적이다"라고 언급했습니다.

비등방성 함수에 대한 검색결과가 별로 없기에 이번엔 비등방성 함수에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

비등방성?

비등방성(anisotropy)의 정의는 방향에 따라서 물리적 성질이 바뀌는 것을 의미합니다.

이것도 말로 해서는 어렵습니다. 비등방성에 대해서 알기 위해서는 우선 등방성에 대해서 알아야 합니다.

등방성이란 "어느 방향에서 보아도 똑같은 성질을 가지고 있음"입니다. 우리가 동전을 바라 볼 때 어디서 바라보든 동전의 성질은 변하지 않습니다. 그러나 지폐의 홀로그램을 바라볼 때는 보는 방향에 따라서 다른 그림이 보이는 성질을 가지는데 이것이 비등방성의 예시입니다. 즉 비등방성을 쉽게 풀어서 얘기하면 "특정한 방향으로 보면 평소와 다른 성질이 보이는 경우가 존재하는 것"입니다.

비등방성 함수란?

비등방성 함수는 위에서 언급한 "성질"을 "기울기의 성질"이라고 생각하면 됩니다.

즉, 비등방성 함수는 "특정한 지점(좌표)에서 기울기의 성질(기울기가 가르키는 지점)이 변하는 경우가 존재하는 것"입니다.

등방성 함수의 예시

위 그림은 SGD를 처음 사용할 때 사용한 예시입니다. 아래 그림을 보면 함수의 기울기를 알 수 있는데 모든 좌표에 대해서 기울기는 항상 중앙을 가르키고 있습니다. 즉, f 함수는 "기울기가 가르키는 지점"이라는 성질에 대해서 등방성을 가지고 있습니다.

비등방성 함수의 예시

보면 단번에 알겠지만 기울기가 가르키는 지점이 하나가 아니라 여러가지 입니다. 이 함수는 "기울기가 가르키는 지점"이라는 특성이 일정하지 않으므로 이 특성에 대한 비등방성 함수라고 정의할 수 있습니다.

SGD는 기울기가 가르키는 방향으로 무조건 이동하므로 

위 사진처럼 지그재그 형태가 발생해 시간에 비해 학습률의 성장이 낮아집니다. 

글의 목적

지난 글 동안 매개변수의 최적값을 찾아내기 위해서 손실함수를 미분하여 가장 낮은 경사를 따라 내려가는 경사하강법(Gradient Descent)을 사용했습니다. 이번에는 최적값을 찾아내기 위한 여러가지 Optimizer중 SGD에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

여기서 Optimizer는 매개변수가 기울기를 이용해서 최적값을 찾아가는 방법을 통틀어서 말한 것입니다.

확률적 경사 하강법, SGD( Stochastic Gradient Decent )

1. 개념

SGD의 개념은 기존의 GD를 알고있다면 이해하기 쉽습니다. GD는 위 사진처럼 매번 모든 트레이닝 데이터에 대한 손실함수를 구하고 기울기를 구하는 과정입니다. 이런 과정은 보다 정확하게 최적값을 찾을 수 있겠지만 현실적으로 트레이닝 데이터는 수십 만에서 수 천만까지 매우 용량이 많으므로 기울기를 구할 때 이 모두를 계산하는것은 시간이 너무 오래 걸리므로 비현실적입니다.

 이런 문제를 해결하기 위해서 트레이닝 데이터를 mini-batch단위 만큼 무작위로 추출하여 이 데이터만으로 학습을 하는 것이 Stochastic Gradient Decent입니다.

무작위, 표본집단을 계속 추출하여 최적해를 구한다면 최적해의 값은 통계학적으로 GD와 별 차이가 없습니다. 결과값은 별 차이가 없지만 시간은 매우 단축할 수 있다는 장점이 있기에 SGD가 많이 사용되기 시작했습니다.

2. 공식

변수 설명

W : 매개변수( weight, bias )

n : 학습률( learning late )

ℓL / ℓW : 매개변수에 대한 결괏값의 기울기

위 개념에 대해서 이해했다면 공식은 아주 쉬울 것입니다.

사실상 공식 자체는 GD와 다를 바가 없으며 중요한 점은 SGD가 학습을 할 때는 일부 데이터만 무작위로 추출하여 사용한다는 것입니다. 

3. 구현

class SGD:

    """확률적 경사 하강법（Stochastic Gradient Descent）"""

    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        
    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key] 

4. 문제점 

1. 비등방성 함수 문제

위 그래프는 문제점을 보여주기 위한 예시입니다. 그래프를 보면 x축에서는 변화가 별로없지만 y축은 U자를 그리며 격한 기울기를 가지고 있는 모습을 볼 수 있습니다. 위 같은 그래프같은 비등방성 함수(Anisotropy) SGD를 수행하면 아래의 그림처럼 y축에 대해서 지그재그로 움직여 최적해를 찾는 데 시간이 더 소요되는 문제가 발생합니다.

지그재그 문재를 해결하기 위해서 새로운 Optimizer를 고안한 결과로 Momentum과 AdaGrad가 개발되었는데 이에 대해서는 다음 글에서 다루도록 하겠습니다.

2. Local minima 문제

매개변수 w가 기울기를 따라서 계속 진행하여 기울기가 0이 되는 지점에 도착했습니다.

그런데 만약 그 지점이 손실함수의 최솟값이 아니라 극솟값( local minima )이라면 문제가 발생합니다.

손실함수를 최소화하지 못했는데 기울기가 0이되어 더 이상 매개변수가 갱신되지 않아 학습이 멈추는 것이죠

이는 Momentum에서 해결 할 수 있습니다. 해결방법은 Momentum에 대한 글에서 설명하겠습니다.